新课程背景下初中数学应用题教学的策略分析

总结出常见的应用题模型，以及注重过程教学，加强学生建模能力等方面作出一定的探讨。

关键词： 初中数学应用题 特点 模型 “建模能力”

新的数学课程标准关注学生全面、持续、和谐地发展，强调培养学生的应用意识。数学应用题是中学阶段体现数学应用性非常典型的内容，是学生了解数学应用的一个窗口，是目前检测学生应用意识和能力的一个重要方面。通过应用题，可以培养学生用数学的眼光和从数学的角度去思考、解决问题，使学生深刻地感受到数学与现实世界的密切联系，而应用题的解决可以提高学生分析问题和解决问题的能力。笔者结合新课程数学教学的经验，对新课程背景下初中数学应用题教学提出一定的对策建议。

一、科学总结出新课程背景下初中应用题呈现的特点

初中数学新教材是新课程改革的一项重要成果，同时新教材中应用题教学内容的变化也在一定程度上代表了初中数学新课程改革的方向。结合新教材中应用例题，笔者总结出新课程中应用题呈现以下几个方面的特点：

1.应用题编题范围的广泛化

原教材中应用题的取材相对比较单一，主要涉及行程、工程、材料、零件、销售、生产、度量、比赛等背景的问题，内容陈旧，范围过窄，离学生的现实生活较远。新教材中应用题的问题背景就相当丰富了，涉及建筑、自然、材料设计、人口、经济、环保、交通、雕塑、数学史、城市规划、生态、健康、工程技术、军事、城市规划等各个方面，且日常生活中的闹钟、扑克牌，家里铺的地砖，周围的高楼大厦、花园、电梯、登山缆车，老井上的辘轳，微观世界的粒子运动，浩瀚宇宙中的行星运转都可成为应用题的背景。

2.应用题取材的生活社会化

新教材中应用题的取材不仅考虑数学自身的特点，更遵循了学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，向学生提供了贴近他们的生活、真实而富有挑战性、关注社会发展的学习素材，使学生了解数学的价值，体会数学与自然及人类社会的联系，增进对数学的理解和应用数学的信心。

新教材的应用题中有学生日常生活中再熟悉不过的东西，如：书桌、铅笔盒、笔筒、足球、钟表、方向盘、小动物等。

3.应用题表现形式的多样化

原教材中的应用题主要以文字叙述为主，新教材中应用题的呈现方式结合表格、图像、图片、对话、寓言故事等，直观形象、图文并茂、生动有趣地呈现了素材，可以提高学生的学习兴趣，满足多样化的学习需求。

表格式应用题除了具有直观、简明扼要、对比性强等特点外，还具有浓厚的生活气息，使学生感受到数学就在我们身边。按照表中提供的信息可以解决不同的问题，既体现了数学应用的广泛性，又能培养学生应用数学的意识和能力。统计与概率部分提供了大量的表格式应用题。例如，新教材八年级下册第178页习题第2题：2000年9月28日，我国选手伏明霞、郭晶晶分别获得悉尼奥运会女子三米板跳水冠、亚军。告知获得前六名的选手的决赛成绩（分数），试计算各个选手5次跳水成绩的平均分和方差，并比较这六名选手的表现。

4.应用题注重突出建模思想

数与代数领域，数学建模是一条主线。该领域中的方程、不等式、函数都是刻画现实世界的重要模型：方程是刻画现实世界数量关系的数学模型，函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型，一次函数反映了均匀变化的规律。空间与图形领域强调几何建模过程：由于其自身的特点较之其他模型更直观、形象，更宜于从现实情境中抽象出数学的概念、理论和方法。在这样的前提下，新教材中的应用题力求体现“问题情境—建立数学模型—解释、应用与拓展”的模式，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用来展现数学知识的形成与应用过程，这事实上就是解决实际问题的基本途径、数学建模的基本过程。所以这样的呈现方式有助于增强学生的数学应用意识，初步领会数学建模的思想和方法，渗透数学建模的意识。

二、帮助学生归纳常见的初中数学应用题模型

通过对新课程背景下初中数学教材及近年来全国各地中考数学应用题题型的归纳，我们可以发现初中数学应用题出题的模型范围基本上都是紧紧围绕考试大纲的，变化的只是具体的实际生活案例载体，但是经过抽象后解决问题的数学模型基本上都是比较集中的。鉴于这种规律，结合新课程数学知识点中出应用题的高频率知识点，教师可以利用自己对知识系统性掌握的优势，帮助学生对初中数学应用题常见模型作一个基本的总结与归纳，如表1所示：

通过上表可以看出，在初中数学的知识点中最容易出应用题的知识点多集中在方程、函数、不等式及统计等方面，为了进一步让学生对以上各类数学应用题模型的基本题型有一个基本的认识与了解，教师在这样总结的基础上还应针对各类模型选取与之配套的例题来进行讲解，增加学生对数学应用题模型类型的掌握。需要说明的是，由于教师帮助学生总结数学应用题模型在知识点上跨度比较大，因此这种教学策略一般适合在初二下学期，以及初三年级进行。

三、重视过程教学，培养“建模能力”

新课程的一个重要要求就是要求学生能把一些常见的实际问题转化为数学问题。把实际问题转化为数学问题，即为数学模型。数学模型不同于一般的模型，它是用数学语言模拟现实的一种模型，即把一个实际问题中某些事情的主要特征、主要关系抽象成数学语言，近似地反映事物的内在联系与变化的过程。解决此类问题的关键步骤主要有两个：一是建立数学模型（建模）；二是运用有关知识求解数学模型（解模）。建模就是构建适当的数学关系（如公式、函数、方程或图形），使原来的问题情境转化为易于解决的问题的解题方法，解模就是从题设条件和求解结论中得出启示，构造出一些新的数学形式，通过对这些数学形式的研究可以得出解题思路，从而达到解题的目的。

要实现这样的目的，在初中数学应用题教学中教师就不能以追求讲解应用题求解结果为目标，而要注重初中数学应用题过程教学。在这个过程中教师应教会学生怎样去建模，并结合新课程中应用题解题的一般过程，在应用题教学中注重让学生掌握以下的建模流程，如图1所示：

下面通过一道初中新课程教材中比较常见的应用题类型来说明建模过程在数学应用题求解中的重要流程与作用。

例题：东方超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价一元，月销售量就减少10千克。针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。

（2）商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

这是一道与日常生活非常接近的应用题，取材于生活中常见的营销问题。根据上文分析的建模过程，教师在教学时候就要鼓励学生从这些日常生活实际中抽象出数学模型来，结合这道具体的例题，教师应该提醒学生在实际问题与数学模型之间进行转换时候要注意到以下几个数量关系：

销售利润 = （销售单价 - 销售成本）×销售量

销售量 = 原销售量 - 滞销量

销售单价 = 原定单价 + 涨价

明白了这些基本模型等式之后，设销售单价为每千克x元，则每千克的销售利润为（x -40）元；月销售量为500-（x-50）×10千克；月销售利润为（x-40） ×［500-10（x-50）］元。

所以问题1的解答为：当销售单价为55元时，月销售量为500-（55-50） × 10=450（千克），所以月销售利润为（55-40）×450=6750（元）。

但是当销售单价为60元时，月销售成本为：40×［500-（60-50） ×10=16000（元），根据“月销售成本不能超过10000元”，所以销售单价定为每千克80元。

通过上述这道例题可以看出，初中数学应用题解题的关键是要找出题目所给出的实际问题中蕴藏的数学模型及等量关系，然后将实际问题直接转化成为纯数学问题，得到数学模型的解之后再回头代入实际问题之中，从而得到解决实际问题的答案。

总而言之，新课程标准对学生在应用题学习方面的要求还是比较高，教师应该在充分领悟到新课程标准对应用题教学要求基础上，推陈出新，讲究应用题教学方法，提高新课程背景下初中数学应用题的教学效果。

参考文献：

［1］韩跃钦. 新课程理念下的数学应用题教学［J］.新课程研究（基础教育），2008，（8）.

［2］张婕. 新课程下的应用题教学［J］.成功（教育），2007，（10）.

［3］孟继中. 新课程理念下的应用题教学五原则［J］.现代特殊教育，2008，（2）.

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