加强高中数学建模教学,提高数学应用能力

【摘要】在新课程学习的背景下，加强数学建模意识，开展各种课型的数学建模教学.用数学建模解决实际问题，体会数学在实际中的应用，让学生学中用，用中学.使学生提高建模能力，提高数学应用能力，培养学生的创新能力.

【关键词】数学模型；数学建模；数学应用

《高中数学课程标准》强调发展和培养学生的数学应用意识，提出高中课程应提供基本内容的实际背景，反应数学的应用价值.高中数学新课程的内容增加“数学建模”板块，开展形式多样的“数学建模”的学习活动.在新授课教学中加强建模意识，设立体现数学某些重要应用的专题课程，在数学选修课中拓展数学的建模知识.高中课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用，提高数学应用能力.

所谓数学模型，是指对于现实世界的某种事物系统的特征和数量关系，做了一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构，通过对实际问题与数学模型化，求解检验使问题获得解决的方法称之为数学模型方法.数学应用能力是将客观事物数学化的能力，是指从文字叙述的现实问题出发，经过数学思考，对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，提炼出相关的数量关系，将实际问题转化为数学问题，并通过构造数学模型，综合应用所学的中学数学知识、思想和方法加以解决的能力.

数学建模（Mathematical Modeling）：把生活中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用数学模型所提供的解答来解答生活中的实际问题，把学生知识的这一应用过程称为数学建模.以建立数学模型为手段，以数学建模为载体，获得适应未来发展所需的基本思想方法和必要应用技能，以使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题.

数学建模的一般思路和方法步骤：

高中数学教学目标明确要求学生逐步学会把实际问题归结为数学模型，用数学建模解决实际问题，观察实际问题的结构建立相应的数学模型，再把数学模型纳入所学的数学知识系统处理.因此需要把数学建模意识贯穿教学的始终，这就必须加强数学建模教学，不断提高数学应用能力.

所谓教学建模，就是针对研究问题的特征结构或数量关系，采用形式化数学文字语言、符号语言、图形语言，概括地、近似地表达出的一种数学教学结构模式.在高中数学建模的教学实践中，我们可以尝试各种课型对数学建模进行探索研究.

一、基于问题情境的数学新授课的数学建模教学

在新授课中的公式、定理、概念、方程式等等都是一些具体的数学模型，结合新授课让学生掌握基本的数学模型和引入建模思想.教材的每一章课前问题背景引入都是很好的建模原型，新授课时可以简单介绍其学习背景，待章节完成后再予以解决.新授课学习新概念、介绍相关知识点的应用时进行数学建模教学可以设计实际问题情境引出相关的新知识，使学生在实际问题的载体中学习新知识.如必修1基本函数问题的模型，必修2立体几何（土木建筑、机械设计、航海测绘、容积、面积观测）的应用，必修3概率与统计的应用（生物模型、等待问题、天气预报），必修4（三角函数模型、平面向量应用），必修5（解三角形应用、数列的应用、不等式的应用），新授课中的范例教学时把相关的数学问题放入相应的模型求解，完成问题数学化.新授课中变式引申也可以把纯数学问题设计为有实际背景的建模应用问题.挖掘课本中的数学问题的生活模型，深入分析，不断渗透数学建模的学习，使学生在学中用，用中学，使学生养成把数学作为工具应用的意识.

如《几何概型》新授课教学的重点是要引导学生动手操作，通过大量的几何概型的实例与数学模型，使学生概括、理解几何概型的两个特征及概率计算公式.使学生初步能够把一些实际问题转化为几何概型，并能够合理利用统计、化归、数形结合等数学思想方法有效解决有关的概率问题.

例1 甲乙两人相约在上午8:00至9:00之间在某地见面，可是两人都只能在那里停留5分钟，问两人能够见面的概率有多大？

模型分析 因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本由两个数（甲乙两人各自到达的时刻）组成，在1小时内有无数个时刻，模型涉及几何图形的面积，符合几何概型的条件.

模型假设 设甲x分钟后到达，乙y分钟后到达，则0≤x≤60，0≤y≤60.

模型建立 点（x，y）形成直角坐标系中一个边长为1的正方形，以（0，0），（60，0），（0，60），（60，60）为顶点，由于两人只能停留5分钟，所以在|x-y|≤5时，两人才能见面.从而可以绘制坐标轴，数形结合，得到结果.由于|x-y|≤5是两条平行直线x-y=5与y-x=5之间的带状区域，分布在等待时间的直角坐标系中一个边长为60的正方形的内部.

模型求解 由于(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，停留5分钟由图中阴影部分所表示，记两人能够见面的事件A.

两人见面的概率P（A）=带状区域面积正方形面积=P(A)=602-52602=143144.

二、基于综合的专题应用建模

安排单元知识的应用专题渗透建模思想，提高创新意识，根据新课程标准要求和教材内容主要有：构建函数应用（用料、造价、利润、产量、测量、效率最高）的模型专题.构建不等式的应用（最优化策略）的模型专题、构建圆锥曲线的应用（油罐车、通风塔、抛物线拱桥、酒杯中数学）的模型专题、构建数列的应用（增长率、银行贷款、细胞分裂、人口增长、生物体内碳14的衰减）的模型专题、构建概率与统计的应用（有奖销售、水库的鱼量）的概率模型专题、构建立体几何（土木建筑、机械设计、航海测绘、容积、面积观测）应用的模型专题.通过专题应用建模复习，不断巩固知识，完善知识体系，以数学学科基本思想和方法贯穿各专题，按学生的学习过程中的思维发展为线索，综合知识系统和知识的交汇性，真正实现高效复习.如在函数专题复习的教学中，可以设计下面的实际问题：

例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随着利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1002x，其中哪哪个模型符合公司的要求？

模型分析 某个奖励模型符合公司的要求，就是依据该模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元同时奖金不超过利润的25%.

模型假设 由于公司的利润目标为1000万元，只需在x∈［10，10000］上，检验三个模型的奖金y是否符合公司的要求.

模型建立 三个模型分别是一次函数、对数函数、指数函数，不妨在同一坐标系中先作出三个函数的图像，得到初步的结论，再提供具体的计算，确认结果.

模型求解 略.

模型检验 三个函数模型求解比对，确认模型y=log7x+1符合公司的要求.

通过三个函数模型的分别求解，既解决了实际问题，又全面地复习了三个不同函数性质的应用，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的不同，体现数学的应用价值.利用函数模型解决实际问题是数学应用的一个重要方面，应注意让学生认识常见函数的特点，注意选择贴近学生生活实际的问题，引导学生用已经学过的函数模型分析和解决它们，使函数的学习与实际问题紧密联系.

基于综合的专题应用建模，选择专题应用的相关背景建模教学，扩充学生的视野，拓展学生的思维空间.以问题为背景进行建模教学，深刻理解概念，抓住问题的本质，抓住知识的相互联系，深刻领悟蕴涵的思想与方法，做到各个模块横纵联系，提升学生的数学应用能力.

三、基于拓展的数学选修课建模

数学建模选修课可以增加和拓宽学生的数学知识，打开数学思维定向的局限性，拓宽学生的信息视野，培养学生的创新精神.给学生讲授数学建模的基本理论和基本方法，教师指导学生分析问题、设计问题，介绍怎样建立数学模型，让学生在解决问题的过程中学数学、用数学，提高学生的观察能力、创造能力和良好的思维品质.建模学习过程中补充相关的课外知识，选修中让学生见识有鲜明的生产、生活或专业化等实际背景和应用价值的问题，如合理负担出租车费、家庭日用电费的计算、住房房贷问题、超市的客流问题、银行储蓄问题、椅子放稳模型等都可以用数学基础知识建立初等数学模型加以解决，还有社会热点和市场涉及的成本、利润、效益都是选修课建模问题丰富的题材.甚至可以引入社会学和政治学一些活动(如西方多党投票联合执政模型)，也可以用数学模型来描述.

高中选修课建模的内容可以选择以下问题作为背景资料：1人口问题、人体减肥模型（借助函数建模）；2测量问题（涉及三角建模模型）；3教育储蓄问题（涉及数列建模），营养配比问题（不等式建模），饮料罐的合理尺寸（立体几何建模），蒲丰（buffon）投针问题（概率建模）.以上问题大都有较为宽泛的思想背景，具有扩展性和开放性，便于不同层次的学生选题，使他们的主体意识、合作意识不断发展参与到选修建模的各个环节，让学生都感到参加选修课建模是很有意义和有趣的一种活动.

例3 某公园的人工湖有四个小亭（如图中的四个点A，B，C，D），它们恰好是一个边长为2 km的正方形的四个顶点，为方便群众的休闲生活，请你为公园管理处设计修建游湖栈道，看看谁设计的栈道最短.

学生设计1：在线段BC上取一点P，并将它与四个顶点相连而成的线段作为栈道线路.

学生设计2：在湖中选择一点P，并将它与四个顶点相连而成的线段作为栈道线路.

学生设计3：修建一段与AB，CD平行且等距离的栈道MN，且M，N分别与AD，BC等距离，连接MA，MD，NB，NC.（三名学生设计图中实线部分即为栈道）

未设计好的按学生3设计图实施，则MN长为多少时，栈道的总长度最短？并比较三名学生哪一个的栈道最短.

解 若按学生1，如图，延长线段AB至E，使得AB=BE，连接DE交BC与P，则点P为线段BC的中点，此时栈道最短.

证明 略.

若按学生2，连接AC，BD，则交点P即为所求.

证明 略.

解 设计3：由条件知MN垂直平分AD，设NM的延长线交AD于点O.

由正方形的对称性可知AM=DM=BN=CN.

设∠MAO=θ，则AM=AOcosθ=1cosθ，OM=tanθ.

故栈道的总长度y=4AM+MN=4cosθ+2-2tanθ=4-2sinθcosθ+20≤θ≤π4，

y′=-2cosθ•cosθ-(4-2sinθ)(-sinθ)cos2θ=2(2sinθ-1)cos2θ.

令y′=0，得sinθ=12，∵0<θ<π4，∴θ=π6.

当θ∈0,π6时，y′<0，y是θ的减函数；

当θ∈π6，π4时，y′>0，y是θ的增函数.

∴当θ=π6时，ymin=2+23.

这时OM的长为33km，MN的长为2-233km.

通过比较：学生3设计的栈道最短.

通过学生在选修课的设计，使学生感受到数学在生活中的应用，又很好地复习了几何图形的对称性及函数建模、导数、三角、不等式等相关内容和数学方法.通过数学选修课的建模活动加强应用意识和熟练掌握建模方法，让学生亲自体验数学知识与实际生活的联系，亲身体验数学知识是怎样应用的过程.

发展数学应用意识，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断，是时代发展的需要，是新课程改革的需要，同时也是数学学科的特点决定的.近几年来，我国中学数学建模的实践表明，开展数学应用的教学活动符合社会需要，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野.所以在数学教学中，加强高中数学建模教学，增强学生的应用意识，提高学生的建模能力，是摆在我们面前的艰巨任务.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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